Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）设（n∈N^*），求证：3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²＜ln（n+1）+2n．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x²-ax?（x＞0），则（x＞0）．
因为函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．
所以．
因为当x＞0时，，当且仅当，即时等号成立．
所以时．
故实数a的取值范围是：．

（Ⅱ）令a=3，则f（x）=lnx+x²-3x．=．
当x＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．
所以．
所以．
所以．
即．
所以3a₁-a₁²＜2+ln（1+1），，，
．
所以3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²=（3a₁-a₁²）+（3a₂-a₂²）+…+（3a_n-a_n²）＜2n+ln（n+1）．
故所证不等式成立．
分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在定义域上为增函数，所以f′（x）大于等于0恒成立，解出a小于等于一个函数，求出这个函利用基本不等式求出此函数的最小值即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）令a=3化简f（x），求出f′（x），因为当x大于1时导函数大于0，所以函数在大于1时为增函数，所以由1+大于1得到f（1+）大于f（1），分别表示出代入化简后得到即，列举出各项即可得证．
点评：考查学生会利用导数研究函数的单调性，会利用基本不等式求函数的最值，掌握导数在函数最值问题中的应用，是一道中档题．