Question

已知f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，且a≠1．
（1）求a，k之值；
（2）x为何值时f（log₂x）有最小值，并求其最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，可构造关于a，k的对数方程，根据对数的运算性质，可将其化为整式方程，解答后可得a，k值；
（2）由f（x）=x²-x+k利用配方法可得f（log₂x）=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，由二次函数的图象和性质及对数的运算性质可得x为何值时f（log₂x）有最小值，及其最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k
∴

log2(a2-a+k)=2 lo g 2 2 a-log2a+k=k

① ②

…（3分）
由②得log₂a=0或log₂a=1…（4分）
又a≠1，故a=2
代入①log₂（2-k）=2得k=2                   …（5分）
∴a=2，k=2                                                  …（6分）
（2）f(log2x)=lo

g

2 2

x-log2x+2
=(log2x-

1

2

)2+

7

4

…（10分）
当log2x=

1

2

，即x=

2

时，f(log2x)min=

7

4

…（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，对数方程，是函数与方程的综合应用，难度中档．