在三棱锥
中,
是边长为2的正三角形,平面
平面
,
,
分别为
的中点.
(1)证明:
;
(2)求锐二面角
的余弦值;
（1）见试题解析；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，而本题中有
，
是等边三角形，故可以取
中点
为，则有
，
，这是等腰三角形的常用辅助线的作法；（2）关键是作出所求二面角的平面角，由已知及（1）中辅助线，可知
平面
，由于
是
中点，故只要取
中点
，则有
，也即
平面
，有了平面的垂线，二面角的平面角就容易找到了。
试题解析：(1)证明:取中点,连结
,
.
∵
∴
且
∴
平面
,又
平面,∴
.
(2)设OB与C E交于点G，取OB中点为M，作MH^C E交CE于点H，连结FM，FG.
平面
平面
且，
,
,
,
从而
.
,
是二面角
的平面角.
由
得
,
在
中
,
,
,
故锐二面角的余弦值为
.
考点：（1）两直线垂直；（2）二面角．
科目：高中数学 来源：2013-2014学年陕西宝鸡金台区高三11月会考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题
在三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，平面
⊥平面
，
，
、
分别为
、
的中点．
（Ⅰ）证明：
⊥；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积.
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科目：高中数学 来源：2012-2013学年辽宁沈阳二中等重点中学协作体高三领航高考预测（四）理数学卷（解析版） 题型：解答题
（本小题满分12分）在三棱锥
中，
是边长为4的正三角形，
，
，
、
分别是
、
的中点；
（1）证明：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值。
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年山西省太原市高三2月月考文科数学 题型：解答题
、（本小题满分12分）
在三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，平面
⊥平面
，
，
、
分别为
、
的中点。
（1）证明：
⊥；
（2）求三棱锥
的体积.
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科目：高中数学 来源：2011年广东省东莞市教育局教研室高三上学期数学文卷 题型：解答题
（本小题满分14分）
在三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，平面
⊥平面
，
，
、
分别为
、
的中点。
（1）证明：
⊥；
（2）求三棱锥
的体积.
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科目：高中数学 来源：河北省2009-2010学年下学期第一次月考高二年级数学试题（文科） 题型：解答题
在三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，平面
平面
，
，
、
分别为
、
的中点，
（1）证明：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求点
到平面
的距离．
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