Question

（18）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

Answer 1

(18)方法一：

（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD。

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD。

又CD而PCD，∴面PAD⊥面PCD。  

（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角。

连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四边形ACBE为正方形。

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=,PB=,

∴cos∠PBE=,

∴AC与PB所成的角为arccos.

(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN。

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB,所以CM=AM。

在等腰三角形AMC中，AN·MC=

∴AN=。

∴AB=2，

∴cos∠ANB=。

故所求的二面角为arccos(－).

方法二：因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1,).

(Ⅰ)证明：因=（0，0，1），=（0，1，0），故·=0，所以AP⊥DC。

又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD。

（Ⅱ）解：因=（1，1，0），=（0，2，－1），

故||=，||=，·=2，所以

cos<,>=.

由此得AC与PB所成的角为arccos.

(Ⅲ)解：在MC上取一点N（x,y,z）,则存在∈R，使

，

=(1－x,1－y,－z), =(1,0,－),

∴x=1－,y=1,z=.

要使AN⊥MC，只需·=0，即

x－z=0,解得=。

可知当=时，N点坐标为（），能使·=0。

此时，=（），有·=0。

由·=0，·=0得AN⊥MC，BN⊥MC。所以∠ANB为所求二面角的平面角。

∵||=。

∴cos<，>=。

故所求的二面角为arccos(－).