Question

求函数f（x）=

1

3

x3-9x+1（x∈R）的极值．

Answer 1

分析：函数f（x）在区间（a，b）内某一点x₀取得极值的充要条件是函数在这一点附近的导数异号且f′（x₀）=0．

解答：解：因为函数f（x）=

1

3

x3-9x+1（x∈R），
所以f'（x）=x³-9=（x-3）（x+3）
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=3．
由f^′（x）＞0，得x＜-3，或x＞3；由f^′（x）＜0，得-3＜x＜3．（4分）
当x变化时，f^′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	19	单调递减	-17	单调递增

（8分）
因此当x=-3时，f（x）有极大值，极大值为f（-3）=19；（10分）
当x=3时，f（x）有极小值，极小值为f（3）=-17．（12分）

点评：考查了函数在某点取得极值的条件，连续函数在函数定义域内某点处左右两侧的单调性不同，则该点是函数的极值点．此题是中档题．掌握函数取得极值的充要条件是解题的关键．