Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V－ABC的底面，等边三角形AB₁C所在平面与面ABC垂直，且∠ACB＝90°，设AC＝2a，BC＝a．

(Ⅰ)证明：B₁C₁为异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

(Ⅱ)求点A与平面VBC的距离；

(Ⅲ)求二面角A－VB－C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)证明：∵平面A1B1C1∥平面ABC 　　∴B1C1∥BC 　　∵ 　　∴ 　　又∵平面平面ABC，平面平面ABC＝AC 　　∴平面 　　∴ 　　又∵ 　　∴为与的公垂线． 　　(Ⅱ) 　　过作于， 　　∵为正三角形， 　　∴为中点， 　　∵平面 　　∴ 　　又∵ 　　∴平面 　　∴线段的长即为到平面的距离 　　在等边三角形中， 　　∴点到平面的距离为． 　　(Ⅲ) 　　过D作于H，连结AH 　　由三垂线定理知 　　∴是二面角的平面角 　　在中，，～， 　　∴，∴ 　　所以，二面角的大小为． 　　法二：取中点，连结，易知平面， 　　过作直线∥交于 　　取为空间直角坐标系的原点，、、所在直线分别为x，y，z如图建立空间直角坐标系，则 　　 　　(Ⅰ) 　　∴ 　　∴，∴， 　　又∵∥，由已知，∥ 　　∴， 　　即为与的公垂线． 　　(Ⅱ)设是平面的一个法向量，又， 　　则，即，令，则x＝0，y＝3 　　∴ 　　设所求距离为d， 　　 　　∴点到平面的距离为． 　　(Ⅲ)设平面的一个法向量为，又 　　则则令，则s＝6，t＝－3 　　即，设二面角为， 　　 　　又二面角为锐角 　　二面角的大小为．