Question

（2006•朝阳区二模）数列{a_n}中，a₁=1，a_n，a_n+1是方程x²-（2n+1）x+

1

bn

=0的两个根，则数列{b_n}的前n项和S_n=（　　）

• A．

  1

  2n+1

• B．

  1

  n+1

• C．

  n

  2n+1

• D．

  n

  n+1

Answer 1

分析：利用韦达定理可求得a_n+a_n+1=2n+1，而a₁=1，从而可求得a_n=n；再由

1

bn

=a_na_n+1，可求得b_n，从而可得答案．

解答：解：依题意，a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+1+a_n+2=2（n+1）+1，
两式相减得：a_n+2-a_n=2，又a₁=1，
∴a₃=1+2=3，a₅=5，…
∵a_n+a_n+1=2n+1，a₁=1，
∴a₂=3-1=2，a₄=2+2=4，…
∴a_n=n；
又

1

bn

=a_na_n+1=n（n+1），
∴b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故选D．

点评：本题考查数列的求和，突出考查等差关系的确定，考查韦达定理的应用，属于中档题．