Question

椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上异于端点的任意的点，PF₁，PF₂的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2

3

，则△PF₁F₂的周长是（　　）

• A、2（

  2

  +

  3

  ）
• B、

  2

  +2

  3

• C、

  2

  +

  3

• D、4+2

  3

Answer 1

分析：依题意，作图分析可知，a=

3

，从而知b=1，c=

2

，于是可求得△PF₁F₂的周长．

解答：解：依题意，椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的焦点在x轴，作图如下：

∵点M、N分别为PF₁，PF₂的中点，
∴|OM|=

1

2

|PF₂|，|ON|=

1

2

|PF₁|，
又四边形OMPN的周长为2

3

，
∴2（

1

2

|PF₂|+

1

2

|PF₁|）=|PF₂|+|PF₁|=2

3

，
即2a=2

3

，
∴a=

3

，又b=1，
∴c=

2

，即|F₁F₂|=2c=2

2

，
∴△PF₁F₂的周长l=|PF₂|+|PF₁|+|F₁F₂|
=2

3

+2

2

=2（

2

+

3

）．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的简单几何性质，着重考查椭圆的定义及三角形的中位线定理，求得a=

3

是关键，属于中档题．