Question

已知函数f(x)=e^-x(x²+ax+1).

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)关于x的方程f(x)=0在区间(-2，1)上有两个不同的实根，求a的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=-e^-x(x-1)(x+a-1), 

①当a=0时,f′(x)≤0在R上成立,

∴f(x)在R上为减函数； 

②当a＞0时,在x∈(-∞,1-a)和x∈(1,+∞)时,f′(x)＜0,在x∈(1-a,1)时,f′(x)＞0,∴f(x)的减区间为(-∞,1-a),(1,+∞),增区间为(1-a,1)； 

③当a＜0时,在x∈(-∞,1)和x∈(1-a,+∞)时,f′(x)＜0,在x∈(1,1-a)时,f′(x)＞0,∴f(x)的减区间为(-∞,1),(1-a,+∞),增区间为(1,1-a). 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(-2,1)上为减函数,∴f(x)=0在(-2,1)上不可能有2个不等实根； 

当a＞0时,要使f(x)=0在(-2,1)上有2个不等实根,

需∴2＜a＜,又a＞0, 

∴当2＜a＜时,f(x)=0在(-2,1)上有2个不等实根.