Question

已知f（x）=x²-x+c定义在区间[0，1]上，x₁、x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，
求证：
（1）f（0）=f（1）；
（2）|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₁-x₂|；
（3）|f（x₁）-f（x₂）|＜

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2

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Answer 1

分析：（1）直接计算f（0）和f（1）即可；
（2）由于|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂-x₁||x₂+x₁-1|．故只要证明|x₂+x₁-1|＜1即可；
（3）将|f（x₂）-f（x₁）|=|f（x₂）-f（1）+f（0）-f（x₁）|，再利用绝对值不等式的性质进行放缩即得．

解答：证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，
∴f（0）=f（1）．
（2）|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂-x₁||x₂+x₁-1|．
∵0≤x₁≤1，∴0≤x₂≤1，0＜x₁+x₂＜2（x₁≠x₂）．
∴-1＜x₁+x₂-1＜1．
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|．
（3）不妨设x₂＞x₁，由（2）知
|f（x₂）-f（x₁）|＜x₂-x₁．①
而由f（0）=f（1），从而
|f（x₂）-f（x₁）|=|f（x₂）-f（1）+f（0）-f（x₁）|≤|f（x₂）-f（1）|+|f（0）-
f（x₁）|＜|1-x₂|+|x₁|＜1-x₂+x₁．②
①+②得2|f（x₂）-f（x₁）|＜1，
即|f（x₂）-f（x₁）|＜

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2

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点评：本题主要考查不等式的证明，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．