Question

已知函数f（x）=axlnx，在点（e，f（e））处的切线与直线4x-y=0平行．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为函数f（x）=axlnx，所以定义域为（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．因为在点（e，f（e））处的切线与直线4x-y=0平行，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=2（lnx+1），令f'（x）=0，得x=

1

e

．由此讨论f（x）的单调性，能够求出函数f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=axlnx，
所以定义域为（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．…..（2分）
因为在点（e，f（e））处的切线与直线4x-y=0平行，
所以f'（e）=4，即a（lne+1）=4．…..（4分）
所以a=2．
所以f（x）=2xlnx．…..（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=2（lnx+1），
令f'（x）=0，得x=

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在(0，

1

e

)上单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，
所以函数f(x)在(

1

e

，+∞)上单调递增．
所以①若

1

e

∈(m，m+2)时，函数f（x）的最小值是f(

1

e

)=-

2

e

；
若

1

e

≤m＜m+2时，函数f（x）在[m，m+2]上单调递增，
所以函数f（x）的最小值是f（m）=2mlnm．…..（13分）

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价讨论思想的合理运用．