Question

设定义域为R的函数则关于x的方程f²(x)＋bf(x)＋c＝0有7个不同实数解的充要条件是

[　　]

A．

b＜0且c＞0

B．

b＞0且c＜0

C．

b＜0且c＝0

D．

b≥0且c＝0

Answer 1

答案：C
解析：

用数形结合的方法来解决，先画出函数f(x)的图象，如图． 　　注意f(x)＝0有三个根，x1＝0，x2＝1，x3＝2，且有f(x)≥0，令f(x)＝t≥0，则方程为t2＋bt＋c＝0有实数解(t≥0)需满足t1＋t2＝－b≥0，即b≤0，t1·t2＝c≥0，排除B、D(因B项c＜0，D项b≥0)，对于A，不妨令b＝－3，c＝2，则方程为t2－3t＋2＝0，解之t1＝1，t2＝2，即f(x)＝1或f(x)＝2，由图知有8个根，排除A，故选C．实际上当b＜0，且c＝0时，f2(x)＋bf(x)＝0，f(x)＝0或f(x)＝－b＞0，由f(x)＝－b＞0，结合图象，此时有4个根，f(x)＝0有根为0，1，2计7个．