Question

（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，平面为的中点.

       (1) 求证：∥平面；

       (2) 求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

　 (方法一)⑴证明：如图一，连结与交于点，连结.

　　在△中，、为中点，∴∥.　　　　　　　　　　　　　(3分)

　　又平面，平面，

∴∥平面.                                                 (5分)

⑵解：二面角与二面角互补.

如图二，作，垂足为，

又平面平面，∴平面.

作，垂足为，连结，则，

∴∠为二面角的平面角.                              (8分)

设，

在等边△中，为中点，∴，在正方形中，,

∴，，∴.

.                                     (11分

∴所求二面角的余弦值为.                                       (12分)

 

　　　图一　　　　　　　　　图二　　　　　　 　　　　图三

(方法二)证明：如图三以的中点为原点建系，设.

设是平面的一个法向量，

则.又，，

∴.令，∴.            (3分)

　 ∵，∴.

　　又平面，∴∥平面.                             (5分)

⑵解：设是平面的一个法向量，

则.又，，

∴.令，∴. 　　　　　　　　(8分)

 ∴.                                     (11分)

∴所求二面角的余弦值为.                                      (12分)