Question

已知函数f(x)=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

，其中a是实数，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂．
（I）指出函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）²+a，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．
（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f^′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f^′（x₁），f^′（x₂），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
∴f′(x1)•f′(x2)=-1，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，当且仅当-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即x1=-

3

2

，x2=-

1

2

时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值为1．
（III）当x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁）），处的切线方程为
y-(

x

21

+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-

x

21

+a．
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx2=

1

x2

(x-x2)，即y=

1

x2

x+lnx2-1．
函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是

1 x2 =2x1+2  ① lnx2-1=- x 21 +a  ②

，
由①及x₁＜0＜x₂可得-1＜x₁＜0，
由①②得a=

x

21

+ln

1

2x1+2

-1=

x

21

-ln(2x1+2)-1．
∵函数y=

x

21

-1，y=-ln（2x₁+2）在区间（-1，0）上单调递减，
∴a（x₁）=

x

21

-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上单调递减，且x₁→-1时，ln（2x₁+2）→-∞，即-ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．
x₁→0，a（x₁）→-1-ln2．
∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．