Question

（2007•烟台三模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（

1

3

）=0，则不等式f（log

1

8

x）＞0的解集为（　　）

• A．（0，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• B．（

  1

  2

  ，1）∪（2，+∞）
• C．（0，

  1

  2

  ）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：利用函数的奇偶性和单调性的关系确定不等式，然后解不等式即可．

解答：解：方法1：
因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以不等式f（log

1

8

x）＞0等价为f(|log

1

8

x|)＞0，
因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（

1

3

）=0，
所以f(|log

1

8

x|)＞f(

1

3

)，即|log

1

8

x|＞

1

3

，
即log

1

8

x＞

1

3

或log

1

8

x＜-

1

3

，
解得0＜x＜

1

2

或x＞2．
方法2：已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（

1

3

）=0，
所以f（x）在（-∞，0]上是减函数，且f（-

1

3

）=0．
①若log

1

8

x＞0，则log

1

8

x＞

1

3

，此时解得0＜x＜

1

2

．
②若log

1

8

x＜0，则log

1

8

x＜-

1

3

，解得x＞2．
综上不等式f（log

1

8

x）＞0的解集为（0，

1

2

）∪（2，+∞）．
故选A．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，综合性较强，要求熟练掌握函数的性质的综合应用．