Question

 设为非负实数，函数．

       （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

       （Ⅱ）讨论函数的零点个数，并求出零点．（Ⅲ）当时，，试求的最大值，并求取得最大值时的表达式。

Answer 1

解析：（Ⅰ）当时，， -------------1分

       ① 当时，，

       ∴在上单调递增； --------------2分

       ② 当时，，

       ∴在上单调递减，在上单调递增； --------------3分

       综上所述，的单调递增区间是和，单调递减区间是。------4分

（Ⅱ）（1）当时，，函数的零点为； -----5分

       （2）当时，， --------------6分

       故当时，，二次函数对称轴，

       ∴在上单调递增，； -----------7分

       当时，，二次函数对称轴，

       ∴在上单调递减，在上单调递增； ------------------------------8分

       ∴的极大值为，

 当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，

由解之得

函数的零点为或（舍去）；

----------------------10分

 当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点，分别为

和； -----------------------11分

        当，即时，函数与轴有三个交点，即有三个零点，

       由解得，，

       ∴函数的零点为和。-----------12分

       综上可得，当时，函数的零点为；

       当时，函数有一个零点，且零点为；

       当时，有两个零点和；
当时，函数有三个零点和