Question

已知函数f（x）=e^x-m-ln（x+1），其中m∈R．
（Ⅰ）若x=0是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤-1时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由题意可知f'（0）=0，由此可求m，把m值代入f′（x），由f′（x）的单调性及f'（0）=0可知其符合变化规律，从而可得单调性；
（Ⅱ）x∈R时，e^x≥x+1恒成立，x∈（-1，+∞）时，x≥ln（x+1）恒成立，据此进行适当放缩可得结论；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-m-

1

x+1

，
因为x=0是函数的极值点，所以f'（0）=0，即e^-m-1=0，解得m=0，
当m=0时，f（x）=e^x-ln（x+1），
f′(x)=ex-

1

x+1

为（-1，+∞）上的增函数，
又由于f'（0）=0，
故x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
（Ⅱ）当m≤-1时，对于x∈（-1，+∞），
首先：x∈R时，e^x≥x+1恒成立；
其次：x∈（-1，+∞）时，x≥ln（x+1）恒成立；
所以e^x-m≥e^x+1＞e^x≥x+1＞x≥ln（x+1），
所以，e^x-m＞ln（x+1），即e^x-m-ln（x+1）=f（x）＞0成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．