Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

q

=（2a，1），

p

=（2b-c，cosC）且

p

∥

q

．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函数式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范围．

Answer 1

（I）∵

p

∥

q

，∴2acosC=1×（2b-c），
根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形内角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA=

1

2

∵A是三角形内角，
∴A=

π

3

，得sinA=

3

2

            …（5分）
（II）

-2cos2C

1+tanC

+1=

2(sin2C-cos2C)

1+ sinC cosC

+1=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴

-2cos2C

1+tanC

+1=

2

sin（2C-

π

4

），
∵A=

π

3

，得C∈（0，

2π

3

），
∴2C-

π

4

∈（-

π

4

，

13π

12

），可得-

2

2

＜sin（2C-

π

4

）≤1，
∴-1＜

2

sin（2C-

π

4

）≤

2

，
即三角函数式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范围是（-1，

2

]．     …（11分）