Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和T_n；若不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，①当n≥2时，，②
两式相减得，即a_n=3a_n-1-2．当n≥2时，为定值，
由，令n=1，得a₁=-2．所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=1-3ⁿ．（4分）
（Ⅱ）∴b₂=-8，b₂₀=-80．由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n．
=，
而，相减得，
即，则．　（8分）
∵，
故{Tn}递增∴当n∈N^*时，T_n的最小值为（10分）
∵不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立∴．
故当a＞1时，0＜x；（11分）当0＜a＜1时，．（12分）
分析：（Ⅰ）由，知，两式相减得，由此能够导出数列{a_n-1}是公比是3，首项为-3的等比数列．从而能够得到数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n．=，再由错位相减法能够得到数列的前n项和T_n．
由，知{Tn}递增，且T_n的最小值为．由不等式T_n＞log_ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，知．由此能求出实数x的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行解题．