Question

已知等腰三角形腰上的中线长为

3

，则该三角形的面积的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图所示，设出等腰三角形的腰长为2a，根据D为AB中点，得到AD等于a，在三角形ADC中，利用余弦定理表示出cosA，解出a²，然后根据三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，并设面积为S，对表示出的面积两边求导数，令导函数等于0求出cosA的值，由cosA的值讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值，且函数取得最大值时cosA的值，由cosA的值和A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，代入S中即可求出三角形ADC面积的最大值，又因为CD为三角形ABC的中线，所以由三角形ADC面积的最大值得到三角形ABC面积的最大值．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=

a2+4a2-3

2×a×2a

=

5a2-3

4a2

，解得a²=

3

5-4cosA

，
设△ADC的面积为S，
则S=

1

2

a•2a•sinA=a²sinA=

3sinA

5-4cosA

  ①，
．下研究求面积的最值
法一：求导得：S′=

3cosA(5-4cosA)-12sin2A

(5-4cosA)2

=

15cosA-12

(5-4cosA)2

，令S′=0，解得cosA=

4

5

，
当cosA＜

4

5

时，S′＞0，S单调递增；当cosA＞

4

5

时，S′＜0，S单调递减，
所以S在cosA=

4

5

处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA=

3

5

，
所以S的最大值为

3× 3 5

5-4× 4 5

=1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2．
法二：①式变形为5S-4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=

9+16S2

sin（A+θ），其中tanθ=

4S

3

故有5S≤

9+16S2

，
解得S≤1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2
故答案为：2．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，会利用导数求闭区间上函数的最大值，掌握等腰三角形的性质，是一道中档题．