Question

已知函数f（x）=x++a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题得f（x）=x++a，设1≤x₁＜x₂，
则…
因为1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0．所以f（x₁）-f（x₂）＜0 
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．…
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，要满足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2 
（3）g（x）=xf（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+＞0得：，即 ①
因为x∈[2，5]时，x+1∈[3，6]，那么①式可转化为…
所以题目等价于化为在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函数在x∈[2，5]上的最大值．
即求在x∈[2，5]上的最小值． 
令t=x+1，则t∈[3，6]，所以，由（1）得，
在t∈[3，6]，上为增函数，所以最小值为．所以-． 
分析：（1）利用函数单调性定义去证明函数的单调性．
（2）利用（1）的证明结论，利用函数的单调性求参数m的取值范．
（3）要使g（x）+2x+＞0恒成立，实质是最值恒成立，只需求出函数g（x）+2x+的最小值即可，在求最小值的过程中可以使用基本不等式来求．
点评：本题考查了函数的单调性的定义以及函数单调性的应用．不等式恒成立往往转为最值恒成立．求函数的最值，可以使用导数，单调性以及基本不等式等方法去求最值．