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    数列{an}中,an＞0,2=an+1,前n项和为Sn,求证:+…+＜2.

    证明:∵an=代入已知有 =Sn-Sn-1+1(n≥2).

    Sn-1=()2-2+1

    ()2=(-1)2

    -=1.

    当n=1时,=a1+1a1=1.

    {}是首项为=1,公差为1的等差数列.

    =+(n-1)·1=n2.

    由+…+=+++…+＜1+=1+1-=2-＜2,

    ∴+…+＜2.

    温馨提示

    (1)本题利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)推理得{}为等差数列,进而得Sn.(2)放缩法:已知数列的应用是解题的关键.


    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （任选一题）
    ①在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
    an
    1+2an
    (n∈N+)    ．
    （1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
    （2）用适当的方法证明你的猜想．
    ②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=
    n(n+1)
    12
    (an2+bn+c)    对一切正整数n都成立？
    并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}满足：a1=3，an+1=an2-2an+2（n∈N*）
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）求证：数列{an}中的任两项互质．
    （3）记bn=
    1
    an
    +
    1
    an-2
    ，Sn为数列{bn}的前n项和，求S2009的整数部分．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，已知a1=1，an+1=
    an1+2an
    (n∈N+)    ．
    （1）求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
    （2）用适当的方法证明你的猜想．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，如果存在正整数T，使得an+T=an对于任意正整数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+2=|xn+1-xn|(x∈N*)，若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，则数列{xn}的前2014项的和S2014为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    关于数列有下列四个判断：
    ①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
    ②若数列{an}是等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…也成等比数列；
    ③若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；
    ④数列{an}的前n项的和为Sn，且数学公式，则{an}为等差或等比数列；
    ⑤数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n）．
    其中正确命题的序号是________．（请将正确命题的序号都填上）

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