Question

在△ABC中，BC、AC边上的中线所在的直线AD与BE相交于点H．

求证：AB边上的中线所在的直线也通过点H．

证明：因为任何三角形的三条中线所在的直线相交于一点，所以AB边上的中线所在的直线一定通过点H．

上述命题的证明正确吗？如果不正确，请说出错误的原因．

Answer 1

答案：
解析：

　　导思：这里的论据是“三角形的三条中线所在的直线相交于一点，”这个论据实质上就是论题的另一种表达方式．因此，证来证去还是围绕着论题转圈子，结果什么也没有证明，犯了循环论证的逻辑错误．

　　探究：此问题可以用向量的方法来证明．

　　证明：首先令＝a，＝b，有＝a－b，＝a－b，＝－a＋b，再令AD与BE交于点G₁并假定＝λa＋b

　　∴＝a＋μb，又由于＝＋＝(1)a＋(μ－1)b，

　　所以

　　由此可得λ＝μ＝，所以＝．

　　再令AD与CF相交于G₂，同理可证＝，因此G₁、G₂重合，即AD、BE、CF交于一点，故三角形三条中线交于一点．