Question

（2012•安徽模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，2S_n-na_n-n=0（n∈N^*））
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记Tn=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)，求证：当n∈N^*时，Tn＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）根据2S_n-na_n-n=0，再写一式，两式相减可得na_n-（n-1）a_n+1=1，当n=1时，a₁=1；当n≥2时，两边同除以n（n-1）得

an+1

n

-

an

n-1

=

1

n

-

1

n-1

，利用叠加法即可确定数列的通项；
（2）用分析法证明不等式，由（1）知，Tn=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)=

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

，从而不等式Tn＞

2n+1

等价于

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

＞

2n+1

，即证明(

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

)2＞2n+1，利用

2k

2k-1

＞

2k+1

(2k-1)+1

=

2k+1

2k

可得结论．

解答：解：（1）∵2S_n-na_n-n=0，2S_n+1-（n+1）a_n+1-（n+1）=0
两式相减得2a_n+1-（n+1）a_n+1+na_n-1=0=1
∴na_n-（n-1）a_n+1=1
当n=1时，a₁=1；
当n≥2时，两边同除以n（n-1）得

an+1

n

-

an

n-1

=

1

n

-

1

n-1

∴利用叠加法可得

an

n-1

-a2=

1

n-1

-1
∴

an

n-1

=

1

n-1

+2=

2n-1

n-1

∴n≥2时，a_n=2n-1，当n=1时，也成立
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知，Tn=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)=

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

从而不等式Tn＞

2n+1

等价于

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

＞

2n+1

即证明(

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

)2＞2n+1
又∵

2k

2k-1

＞

2k+1

(2k-1)+1

=

2k+1

2k

∴(

2

1

)2＞

2

1

•

3

2

，(

4

3

)2＞

4

3

•

5

4

，…，(

2n

2n-1

)2＞

2n

2n-1

•

2n+1

2n

∴(

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

)2＞2n+1
即有

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

＞

2n+1

故Tn＞

2n+1

成立

点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，解题的关键是利用叠加法求数列的通项，利用放缩法证明不等式．