Question

已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x）．
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断函数f（x）-g（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用真数大于0，可得函数的定义域；
（2）利用奇偶函数的定义，可得函数f（x）-g（x）的奇偶性；
（3）利用函数单调性的定义，可得函数f（x）-g（x）在定义域上的单调性．

解答：解：（1）由x+1＞0且1-x＞0，得-1＜x＜1，因此函数定义域为{x|-1＜x＜1}；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），则F（-x）=f（-x）-g（-x）=lg（-x+1）-lg（1+x）=-F（x），
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数；
（3）函数f（x）-g（x）在定义域上为增函数．
设f（x）-g（x）=lg

x+1

1-x

，令h（x）=

x+1

1-x

设-1＜x₁＜x₂＜1，则h（x₁）-h（x₂）=

x1+1

1-x1

-

x2+1

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

＜0，∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴h（x） 在（-1，1）上为增函数，
∴f（x）-g（x）在（-1，1）上为增函数．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，掌握函数奇偶性与单调性的定义是关键．