Question

已知函数f(x)=ln(e^x+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx是区间［-1,1］上的减函数.

（1）求g(x)在x∈［-1,1］上的最大值；

（2）若g(x)≤t²+λt+1对x∈［-1,1］及λ∈(-∞,-1］恒成立,求t的取值范围；

（3）讨论关于x的方程=x²-2ex+m的根的个数.

Answer 1

解:(1)f(x)=ln(e^x+a)是奇函数，则ln(e^-x+a)=-ln(e^x+a)恒成立.

∴(e^-x+a)(e^x+a)=1.

1+ae^-x+ae^x+a²=1,∴a(e^x+e^-x+a)=0.

∴a=0.

又∵g(x)在［-1，1］上单调递减，

∴g(x)_max=g(-1)=-λ-sin1.

(2)只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ∈(-∞,-1］上恒成立,

∴(t+1)λ+t²+sin1+1≥0在λ∈(-∞，-1］上恒成立.

令h(λ)=(t+1)λ+t²+sin1+1(λ≤-1),则

∴而t²-t+sin1≥0恒成立,

∴t≤-1.

(3)由(1)知f(x)=x,∴方程为=x²-2ex+m,

令f₁(x)=,f₂(x)=x²-2ex+m，

∵f₁′(x)=，

当x∈(0,e)时,f₁′(x)≥0,

∴f₁(x)在(0,e］上为增函数；

x∈［e,+∞)时,f₁′(x)≤0,∴f₁(x)在［0,e)上为减函数，当x=e时，f₁(x)_max=f₁(e)=.而f₂(x)=(x-e)²+m-e²，

∴函数f₁(x)、f₂(x)在同一坐标系的大致图象如图所示.

∴①当m-e²＞,即m＞e²+时，方程无解.

②当m-e²=,即m=e²+时，方程有一个根.

③当m-e²＜,即m＜e²+时，方程有两个根.