Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为，
∵椭圆的离心率为，
∴a²=4b²，
又∵M（4，1），
∴，
解得b²=5，a²=20，
故椭圆方程为
（2）将y=x+m代入
并整理得5x²+8mx+4m²﹣20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）²﹣20（4m²﹣20）＞0，
解得﹣5＜m＜5
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0．
设A（，），B（x₂，y₂），
根据（2）中的方程，利用根与系数的关系得：．

上式的分子=（+m﹣1）（x₂﹣4）+（x₂+m﹣1）（﹣4）
=2x₂+（m﹣5）（+x₂）﹣8（m﹣1）
=
所以k₁+k₂=0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形