Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ΔABC为等腰直角三角形，∠BAC=，且AB=AA₁,D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．

(Ⅰ)求证：DE∥平面ABC；

(Ⅱ)求证：B₁F⊥平面AEF；

(Ⅲ)求二面角B₁-AE-F的大小．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)证明：取AB的中点M，

∵D为B₁A中点，∴DMBB₁.

又由E是CC₁的中点，易得ECBB₁,

∴DMEC.

∴四边形DMCE是平行四边形，

∴DE∥MC.

又DE平面ABC，MC平面ABC，

∴DE∥平面ABC.

(Ⅱ)证明:由已知,△ABC为等腰直角三角形,

∠BAC=90°，F为BC的中点，

∴AF⊥BC.有AF⊥平面BB₁C₁C.

又B₁F平面BB₁C₁C，∴B₁F⊥AF.

在Rt△B₁BF和Rt△FCE中，由已知可得BC=BB₁，CC₁=BB₁，

∴.

∴Rt△B₁BF∽Rt△FCE，

∴∠BB₁F=∠EFC，而∠BB₁F+∠B₁FB=90°，

∴∠B₁FB+∠EFC=90°，

∴∠B₁FE=90°，即B₁F⊥EF.

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.

(Ⅲ)解：过F作FN⊥AE于点N，连结B₁N，设AB=a，

∵B₁F⊥平面AEF，∴B₁N⊥AE.

∴∠B₁NF为二面角B₁-AE-F的平面角.

∵AF⊥平面BB₁C₁C，EF平面BB₁C₁C，

∴EF⊥AF.

在Rt△AEF中，可求得FN=.

在Rt△B₁FN中，∠B₁FN=90°,

∴tan∠B₁NF=.

∴∠B₁NF=arctan，即二面角B₁-AE-F的大小为arctan. 

解法二：以A为原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系，设AB=AA₁=AC=2a＞0，可知各点坐标分别为

A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B₁(2a，0，2a)，E(0，2a，a)，F(a，a，0)，D(a，0，a)

(Ⅰ)=(-a，2a，0)，

又因为(-a，2a，0)=a(-1，2，0)，

即=a(-1，2，0).

∴与向量(-1，2，0)平行，设点G(-1，2，0)，

则=(-1，2，0)

∴与平行，而直线AG在平面ABC内，直线DE在平面ABC外，∴DE∥平面ABC.

(Ⅱ)证明：=(-a，a，-2a)， =(a，-a，-a)，=(a，a，0)，

∴·=-a×a+a×(-a)+(-2a)×(-a)=0，

·=-a×a+a×a-2a×0=0，

∴⊥，⊥

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，=(-a，a，-2a)是平面AEF的一个法向量，设二面角B₁-AE-F的大小为θ，根据已知得θ是锐角，设平面AEB₁的一个法向量为n=(x，y，1)，∵=(0，2a，a)，  =(2a，0，2a)，且

∴解得，∴n=(-1,,1)

∴cosθ=

∴θ=arcos=,

∴二面角B₁-AE-F的大小为arcos.