Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，对一切n∈N^*有a_n＞0，

a

2 n+1

-an+1=2Sn，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（ I ）求a₂，a₃，a₄的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足bn=

1

Sn

，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n的表达式．

Answer 1

分析：（I）利用

a

2 n+1

-an+1=2Sn，n取1，2，3，即可求a₂，a₃，a₄的值；
（II）再写一式，两式相减，确定数列{a_n}是等差数列，即可求数列{a_n}通项公式；
（Ⅲ）确定数列{b_n}的通项，利用裂项法可求T_n的表达式．

解答：解：（I）n=1时，

a

2 2

-a2=2S1
∵a₁=1，a_n＞0，∴a₂=2
同理可得a₃=3，a₄=4；
（II）∵

a

2 n+1

-an+1=2Sn，
∴n≥2时，

a

2 n

-an=2Sn-1
两式相减可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n+1+a_n
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1（n≥2）
当n=1时，也适合a_n+1-a_n=1
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=n；
（Ⅲ）由题意，Sn=

n(n+1)

2

，
∴bn=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查等差数列的判定与通项的确定，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．