Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
①求证：数列{lga_n}是等差数列；
②设b_n=

3

(lgan)(lgan+1)

求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

①当n=1时，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；
当n≥2时，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，
可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式对于n=1时也成立．
∴数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，
∴an=10×10n-1=10n．
∴lgan+1-lgan=lg

an+1

an

=1，
∴数列{lga_n}是以lga₁=lg10=1，为首项，1为公差的等差数列；
②由①可得：lgan=lg10n=n，lga_n+1=n+1，
∴bn=

3

n(n+1)

=3(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=3[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=3(1-

1

n+1

)=

3n

n+1

．