Question

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l。
（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（2）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。

Answer 1

解：（1）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），
所以AB所在直线的方程为y=x
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由得
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以
即。
（2）设AB所在直线的方程为y=x+m
由得
因为A，B在椭圆上，
所以　　　
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则　　　
所以　　　
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，
即
所以　　　
所以当m=-1时，AC边最长（这时）
此时AB所在直线的方程为y=x-1。