Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两焦点分别为F₁和F₂，若双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF₂F₁=3∠PF₁F₂，则双曲线离心率e的取值范围是

1＜e＜2

．

Answer 1

分析：设∠PF₁F₂=α，在三角形PF₁F₂中，根据正弦定理，可得

PF1

sin3α

=

PF2

sinα

，利用三倍角公式化简得PF₁=（3-4sin²α）PF₂，再利用双曲线的定义，可得PF₂=

a

1-2sin2α

，最后根据P在双曲线右友，可得关于e的不等式，进而根据三角函数的范围确定e的范围．

解答：解：设∠PF₁F₂=α，
∵∠PF₂F₁=3∠PF₁F₂，P在双曲线右支（x＞a）
在三角形PF₁F₂中，根据正弦定理，可得

PF1

sin3α

=

PF2

sinα

，
即

PF1

3sinα-4sin3α

=

PF2

sinα

∴PF₁=（3-4sin²α）PF₂，
∵PF₁-PF₂=2a，∴（3-4sin²α）PF₂-PF₂=2a，
∴PF₂=

a

1-2sin2α

，
由于P在P在双曲线右支，∴PF₂＞c-a，
∵

a

1-2sin2α

＞c-a，∴

c

a

＜1+

1

1-2sin2α

≤2，
∴

c

a

＜2，又

c

a

＞1，
则双曲线离心率e的取值范围是 1＜e＜2．
故答案为：1＜e＜2．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．