Question

已知f（x）=ax²+3（a+1）x+3a+4（a∈Z且a＜0）的图象过点（m-2，0）（m∈R），设g（x）=f［f（x）］，F（x）=pg（x）+f（x），求常数p，使得F（x）在（-∞，-3）上是减函数，在［-3，0］上是增函数.

Answer 1

解：∵f（m-2）=0,

∴a（m-2）²+3（a+1）（m-2）+3a+4=0.?

∵m∈R,

∴m-2∈R,

∴Δ=9（a+1）²-4a（3a+4）≥0,?

即3a²-2a-9≤0.?

解得≤a≤.

又a∈Z且a＜0,∴a=-1.?

∴f（x）=1-x²,

g（x）=f［f（x）］=1-［f（x）］²=1-（x²-1）².?

令y=F（x）,则

y=p［1-（x²-1）²］+（1+x²）=-px⁴+（2p-1）x²+1.?

∴y′=-4px³+2（2p-1）x,?

依题意y′｜_x=-3=0.

即-4p×（-27）-6（2p-1）=0,?

∴p=-.

此时,y=F（x）=x⁴-x²+1.

y′=x（x²-9）.?

当x∈（-∞,-3） 时,y′＜0.?

当x∈（-3,0）时,y′＞0.?

∴当p=-时,函数y=F（x）在（-∞,-3）内递减,在（-3,0）内递增.