Question

（2013•楚雄州模拟）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（　　）

• A．

  3 5

  5

• B．

  6

  2

• C．

  3

  2

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切
，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±

b

a

x，即bx±ay=0
圆C：x²+y²-6x+5=0化为标准方程（x-3）²+y²=4
∴C（3，0），半径为2
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切
∴

|3b|

b2+a2

=2
∴9b²=4b²+4a²
∴5b²=4a²
∵b²=c²-a²
∴5（c²-a²）=4a²
∴9a²=5c²
∴e=

c

a

=

3 5

5

∴双曲线离心率等于

3 5

5

故选A．

点评：本题以双曲线方程与圆的方程为载体，考查直线与圆相切，考查双曲线的几何性质，解题的关键是利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径．