Question

椭圆C：的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F_2，|PF₁|=，|PF₂|=。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过圆x²+y²+4x﹣2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，，
故椭圆的半焦距c=，从而
b²=a²﹣c²=4，所以椭圆C的方程为=1．
（2）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
已知圆的方程为（x+2）²+（y﹣1）²=5，
所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．
从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k﹣27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以
解得，
所以直线l的方程为，
即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）