Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程
（2）若函数f（x）在[1，e]上数为最小值为

3

2

．求实数a的值．

Answer 1

分析：（I）由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，由此能求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（II）由f′(x)=

x+a

x2

，进行分类讨论，能求出函数f（x）在[1，e]上数为最小值为

3

2

时实数a的值．

解答：解：（I）由题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
由f′（1）=3，得a=2．又当a=2时，f（1）=-2，f′（1）=3，
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x-y-5=0．…（6分）
（II）由（I）知，f′(x)=

x+a

x2

，
①若a≥-1，则x+a≥0，
即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

，（舍去）．  …（9分）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上为减函数，
∴[f（x）]_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，
∴a=-

e

2

，（舍去）． …（12分）
③若-e＜a＜-1，当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
-e＜a＜-1，当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
∴a=-

e

，
综上所述，a=-

e

．…（15分）

点评：本题考查切线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．