Question

已知复数z=－i，w=+i，复数，z²w³在复平面上所对应的点分别为P、Q，

证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).

Answer 1

证法一：由z=－i=cos(－)+isin(－),

则z³=－i，又w=+i=cos+isin,

 

故w⁴=－1,于是=·= =1

 

由此可得OP⊥OQ,且|OP|=|OQ|，△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形.

证法二：∵z=－i=cos(－)+isin(－)w=+i=cos+isin

∴zw=cos+isin

 

=cos(－)+isin(－),=cos(－+π)+isin(－+π)

 

=cos+isin。

因此，OP与OQ的夹角为－(－)=

所以OP⊥OQ

又|OP|=||=1，|OQ|=|z²w²|=1,所以|OP|=|OQ|，即得△OPQ是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形.

 

证法三：同证法一，得q³=－i. w⁴=－1,

∴|OP|=|z²w³|=|z²||w³|=1

|OQ|=||=|z|·|w|=1

|PQ|²=(z²w³－)

=(z²w³－)(－zw)

=2－z³w⁴－

=2－i－(－i)

=2=|OP|²＋|OQ|²

故△OPQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形.

评述：本题综合考查复数的概念、运算、及其几何意义等基础知识，题目设计形式比较新颖，解题入口较宽，方法灵活，考查了考生基本的逻辑思维能力.