Question

若对于区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁(x)＝log_a(x－3a)与f₂(x)＝log_a(a＞0，a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]．

(1)若f₁(x)与f₂(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；

(2)讨论f₁(x)与f₂(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是否是接近的．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，∴0＜a＜1． 　　(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|． 　　令|f1(x)－f2(x)|≤1，得－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1， 　　∵0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧， 　　∴g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上为减函数．① 　　从而g(x)max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)， 　　于是①成立，当且仅当解此不等式组，得0＜a≤． 　　故当0＜a≤时，f1(x)与f2(x)在[a＋2，a＋3]上是接近的； 　　当a＞且a≠1时，f1(x)与f2(x)在[a＋2，a＋3]上是非接近的．

提示：

解这类题目先一定要严格把握好题目中给出的新信息，本题中的“若对于区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的”这是定义，然后综合以前所学的知识灵活解题．