Question

已知函数，且恒成立.

(Ⅰ)求的值

(Ⅱ)求为何值时，在上取得最大值；

(Ⅲ) 设，若是单调递增函数，求的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ) ∵,且恒成立，

     ∴的定义域为(2,∞),且是的最小值.

   又∵.

∴，解得.         

(Ⅱ)由上问知

   ∴当时，；

     当时，  

   ∴在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）是增函数

   ∴在上的最大值应在端点处取得.

   ∵，

  ∴ .即当时，取得在上的最大值.

  (Ⅲ) ∵是单调递增函数，∴恒成立.

     又∵.

   显然在的定义域（2，∞）上， 恒成立.

∴在（2，∞）上恒成立.

下面分情况讨论在（2，∞）上恒成立时，的解的情况.

当时，显然不可能有在（2，∞）上恒成立.

当时，在（2，∞）上恒成立.

当时，又有两种情况：

①；

②且

由①得，无解；由②得.

∵，∴

 综上所述各种情况，当时，在（2，∞）上恒成立.

 ∴所求的的取值范围为.