Question

已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos2α，cos2β的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：本题利用两角和与差的余弦公式和已知三角函数值求其他三角函数值的方法．2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)． 　　解：因为＜α＋β＜2π，cos(α＋β)＝， 　　所以sin(α＋β)＝－． 　　因为＜α－β＜π，cos(α－β)＝－， 　　所以sin(α－β)＝． 　　所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] 　　＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) 　　＝×(－)－(－)×＝－． 　　cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] 　　＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 　　＝×(－)＋(－)×＝－1． 　　方法归纳：在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来． 　　深化升华：代换是数学中常见思想，特别是在三角函数中尤为突出．可以是角与角之间代换，也可以是数与函数值之间，函数值与函数值之间代换．常见的如：10°＝30°－20°，1＝sin2α＋cos2α，＝sin60°＝cos30°，＝cos60°＝sin30°，1＝tan45°等，在解题时要灵活应用．