Question

若数列{a_n}满足a_n+1-a_n=ta_n+1a_n（n∈N^*，t为非零常数），且a₁=1，a2=

2

3

，则a₂₀₁₂=

-

2

2009

．

Answer 1

分析：先确定{

1

an

}是以1为首项，-

1

2

为公差的等差数列，求出数列的通项，即可得到结论．

解答：解：∵a_n+1-a_n=ta_n+1a_n，
∴

1

an+1

-

1

an

=-t
∵a₁=1，a2=

2

3

，
∴t=-

1

2

∴{

1

an

}是以1为首项，-

1

2

为公差的等差数列
∴

1

an

=1-

1

2

(n-1)=

3-n

2

∴a_n=

2

3-n

∴a₂₀₁₂=

2

3-2012

=-

2

2009

故答案为：-

2

2009

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，属于基础题．