Question

若对任意满足

x-y+3≥0 x+y-5≥0 x-3≤0

的实数x、y，不等式axy≥x²+y²恒成立，则实数a的取值范围是

[

17

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：不等式组

x-y+3≥0 x+y-5≥0 x-3≤0

，表示一个三角形区域，三角形的三个顶点的坐标分别为（1，4），（3，6），（3，2）
与原点连线的斜率分别为4，2，

2

3

，可求的

y

x

∈[

2

3

，4]，不等式axy≥x²+y²可转化为a≥

x

y

+

y

x

，求出右边的最小值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：不等式组

x-y+3≥0 x+y-5≥0 x-3≤0

，表示一个三角形区域，三角形的三个顶点的坐标分别为（1，4），（3，6），（3，2）
与原点连线的斜率分别为4，2，

2

3

∴

y

x

∈[

2

3

，4]
不等式axy≥x²+y²可转化为a≥

x

y

+

y

x

令t=

x

y

，则t+

1

t

在[

2

3

，1]上单调减，在[1，4]上单调增
∴t=1时，函数取得最小值为2；t=4时，函数取得最大值为

17

4

∴a≥

17

4

故答案为：[

17

4

，+∞)

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的单调性与最值，解题的关键是分离参数，确定函数的最值．