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    在正方体ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为AB1和A1C1上的点,A1N=AM.

    (1)求证:MN∥平面BB1C1C;

    (2)求MN的长的最小值.

    (1)证明:作NE∥A1B1交B1C1于E,作MF∥AB交BB1于F,连结EF,则NE∥MF.

    ∵NE∥A1B1,

    ∴.

    又MF∥AB∥A1B1,∴.

    ∵A1C1=AB1,A1N=AM,

    ∴C1N=B1M.∴.

    又AB=A1B1,∴NE=MF.

    ∴四边形MNEF是平行四边形,MN∥EF,且MN=EF.

    又MN平面BB1C1C,EF平面BB1C1C,

    ∴MN∥平面BB1C1C.

    (2)解:设B1E=x.

    ∵NE∥A1B1,∴.

    又∵MF∥AB,∴.

    ∵A1N=AM,A1C1=AB1=,B1C1=BB1=a,B1E=x,

    ∴.

    ∴.∴B1F=a-x.

    从而MN=EF=

    .

    ∴当x=时,MN取得最小值为.

    练习册系列答案
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    16、在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
    ①四边形BFD′E一定是平行四边形；
    ②四边形BFD′E有可能是正方形；
    ③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
    ④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
    以上结论正确的为
    ①③④
    ．（写出所有正确结论的编号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为D′C′的中点，则二面角E-AB-C的大小为
    45°
    45°
    ．

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    如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点． 
    （1）若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD．
    （2）求异面直线EF与AD′所成的角．

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    如图在正方体ABCD-A  1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，则：
    ①四边形BFD′E一定是平行四边形；
    ②四边形BFD′E有可能是正方形；
    ③四边形BFD′E有可能是菱形；
    ④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
    其中所有正确结论的序号是
     
    ．

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