Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： ①对于任意的x[0，1]，总有f(x)≥0; ②f(1)＝1; ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)． (1) 试求f(0)的值; (2) 试求函数f(x)的最大值； (3) 试证明：当x，nN＋时，f(x)＜2x．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令x1＝x2＝0，依条件(3)可得f(0＋0)≥2f(0)，即f(0)≤0 又由条件(1)得f(0)≥0故f(0)＝0………………………3分
(2)	解：任取0≤x1<x2≤1可知x2－x1(0，1]，则f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)＝1因此当x＝1时，f(x)取最大值1．………8分
(3)	证明：先用数学归纳法证明:当x(nN＋)时，f(x)≤ 10当n＝1时，x，f(x)≤f(1)＝1＝，不等式成立． 当n＝2时，x，<2x≤1，f(2x)≤1，f(2x)≥f(x)＋f(x)＝2f(x) ∴f(x)≤f(2x)≤不等式成立． 20假设当n＝k(kN＋，k≥2)时，不等式成立，即x时，f(x)≤ 则当n＝k＋1时，x，记t＝2x，则t＝2x，∴f(t)≤ 而f(t)＝f(2x)≥2f(x)，∴f(x)≤f(2x)＝f(t)≤ 因此当n＝k＋1时不等式也成立． 由10，20知，当x(nN＋)时，f(x)≤ 又当x(nN＋)时，2x>，此时f(x)<2x． 综上所述：当x(nN＋)时，有f(x)<2x．………………………12分