Question

某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(4x+1-

3

x

)元．
（Ⅰ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x的取值范围；
（Ⅱ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出生产该产品1小时获得的利润，建立不等式，然后解一元二次不等式即可求x的取值范围；
（Ⅱ）确定生产120千克该产品获得的利润函数，利用配方法，从而可求出最大利润．

解答：解：（Ⅰ）生产该产品1小时获得的利润为100（4x+1-

3

x

）×1=100（4x+1-

3

x

），
根据题意，100（4x+1-

3

x

）≥1200，即4x²-11x-3≥0
∴x≥3或x≤-1，
∵1≤x≤10，∴3≤x≤10，
即x的取值范围是3≤x≤10；
（Ⅱ）设生产120千克该产品获得的利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（4x+1-

3

x

）×

120

x

=12000[-3（

1

x

-

1

6

）²+

49

12

]，
∵1≤x≤10，
∴x=6时，取得最大利润为49000元，
故该厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为49000元．

点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．属于中档题．