Question

P为△ABC内一点，且

PA

+3

PB

+7

PC

=

0

，则△PAC与△ABC面积的比为

3

11

．

Answer 1

分析：分别延长 PB、PC 至 B₁、C₁，使 PB₁=3PB，PC₁=7PC，可得P是三角形 AB₁C₁ 的重心，三角形 AB₁C₁ 的面积为 3S，可用S表示所要求的面积，进而可得答案．

解答：解：（如图）分别延长 PB、PC 至 B₁、C₁，使 PB₁=3PB，PC₁=7PC，
则由已知可得：

PA

+

PB1

+

PC1

=

0

，故点P是三角形 AB₁C₁ 的重心，
设三角形 AB₁C₁ 的面积为 3S，则S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S，
而S_△APC=

1

7

S△APC1=

S

7

，S_△ABP=

1

3

S△APB1=

S

3

，S_△PBC=

1

3

×

1

7

S△PB1C1=

S

21

，
所以△PAC与△ABC面积的比为：

S 7

S 7 + S 3 + S 21

=

3

11

，
故答案为：

3

11

点评：本题考查向量式的几何意义，作辅助线得出点P是三角形 AB₁C₁ 的重心是解决问题的关键，属中档题．