Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx 。
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值。

Answer 1

解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），
则f'（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，则f'（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，
可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，
代入①式可得：。
（2）由题设a²=4b，
设
则，
令h'（x）=0，解得：，；
∵a＞0，
∴，

①若，即a≤2时，最大值为；
②若，即2＜a＜6时，最大值为
③若时，即a≥6时，最大值为
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；
当a∈（2，+∞）时，最大值为。