Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n+1=(

1

2

)n（n∈N^*），记T_2n为{a_n}的前2n项的和．
（1）设b_n=a_2n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求T_2n；
（3）不等式64•T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）对于一切n∈N^*恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据b_n=a_2n，a_n•a_n+1=(

1

2

)n，作商，利用等比数列的定义，即可得到结论；
（2）由（1）知，bn=(

1

2

)n，根据b_n=a_2n，可得数列的通项，从而可求数列的和；
（3）64•T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）即得64•3[1-(

1

2

)n]•

1

2n

≤3（1-k•

1

2n

），分离参数，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵b_n=a_2n，a_n•a_n+1=(

1

2

)n
∴

bn+1

bn

=

a2n+2

a2n

=

a2n+1a2n+2

a2na2n+1

=

1

2

-------------------------3f
所以{b_n}是以b₁=

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列．----------------------------4f
（2）解：由（1）知，bn=(

1

2

)n，
当n=2k（k∈N^*）时，an=a2k=bk=(

1

2

)k；------------------------------5f
当n=2k-1（k∈N^*）时，an=a2k-1=(

1

2

)k-1-----6f
即an=

( 1 2 ) n-1 2 ，n为正奇数 ( 1 2 ) n 2 ，n为正偶数

--------------------------------------------7f
∴T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=3[1-(

1

2

)n]------9f
（3）解：由（2），64•T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）即得64•3[1-(

1

2

)n]•

1

2n

≤3（1-k•

1

2n

）------10f
所以k≤2n+

64

2n

-64-------------------------------------------------11f
因2n+

64

2n

-64≥16-64=-48（当n=3时等号成立）---------------13f
即所求的k的最大值为-48．------------------------------------------------14f

点评：本题考查等比数列的定义，考查数列的通项与求和，考查分离参数法的运用，考查基本不等式求最值，属于中档题．