Question

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数；

（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．

Answer 1

解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，

后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9人（2分）

这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144人（4分）

（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2人，

设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，又m+2=2（7﹣m），所以m=4，

即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06，（6分）

频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图（8分）

（3）由（2）知身高在[180，185]内的人数为4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195]的人数为2人，设为A，B．

若x，y∈[180，185]时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．

若x，y∈[190，195]时，有AB共一种情况．

若x，y分别在[180，185]，[190，195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况

所以基本事件的总数为6+8+1=15种（12分）

事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种，故（14分）