Question

已知函数f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：函数f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定义域（x＞0）内是增函数?f′(x)=mx+

1

x

-2≥0?m≥

2

x

-

1

x2

对于任意x＞0．?m≥(

2

x

-

1

x2

)max．利用导数即可得出．

解答：解：∵函数f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴f′(x)=mx+

1

x

-2≥0，化为m≥

2

x

-

1

x2

．
令g（x）=

2

x

-

1

x2

，g′(x)=-

2

x2

+

2

x3

=-

2(x-1)

x3

，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；解g′（x）＜0，得x＞1．
因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1．
∴m≥1．
故答案为[1，+∞）．

点评：正确吧问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．